기하와 산술의 독립적 관계

앞의 논의는 다음과 같은 사실을 증명하여 준다. 즉, 우리가 어떠한 단위를 가지고도 그것으로 정확한 숫자적 관계를 맺을 수 없는 길이가 존재한다는 것, 즉 그 길이의 m곱이 단위의 n곱과 같아질 그런 정수 m,n이 존재하지 않는다는 것을 증명하고 있다.

이 때문에 그리스 수학자들은 기하는 산술에서 독립적으로 세워져야 한다고 생각하였다. 플라톤의 '대화편'에는 그의 시대에 기하를 독립적으로 다루는 일이 잘 진행되어 가고 있었다는 것을 보여 주는 글들이 있다.이 일은 유클리드에 있어서 완성되었다. 유클리드는 제 2권에서 (a+b)2=a2+2ab+b2과 같은 대수代數로 증명해야 할 많은 것을 기하학적으로 증명하고 있다. 그가 이와 같은 일이 필요하다고 생각하게 된 것은 약분 불가능의 수에 관한 난점 때문이었다. 마찬가지의 것을 제 5권, 제 6권에서의 비례에 관한 논증에서도 볼 수 있다. 이 체계 전체가 논리적으로 대단히 유쾌하게 되어 있고, 19세기 수학자들의 엄격함을 생각케 한다. 약분 불가능한 수의 산술적 논증의 충분한 방법이 존재하지 않았던 만큼, 유클리드의 방법은 기하학에서 가능한 최선의 방법이었다. 데카르트가 해석기하解析幾何를 도입했을 때 산술을 다시금 지상至上의 것으로 만들었고, 비록 그의 시대에는 해결을 보지못했으나 약분 불가능한 수의 문제도 해결 가능성이 있다고 보았던 것이다.