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서양 사상 조각/피타고라스

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피타고라스의 후세 철학에 대한 영향 피타고라스로부터 시작되는 수학과 신학의 결합은 그리스에서, 중세에서, 그리고 칸트에 이르는 현대에서까지 종교철학의 특질을 이루고 있다. 피타고라스 이전에 오르페우스 종교는 아시아적 신비종교에 더 유사성을 가지고 있다. 그러나 플라톤이나 성 아우구스티누스, 토마스 아퀴나스·데카르트·스피노자·칸트에서는 종교와 이성, 그리고 도덕적 포부와 무시간적인 것에 대한 논리적 동경, 이런 것들의 밀접한 혼합을 볼 수 있다. 그리고 이것은 피타고라스로부터 기원하는 것이며, 이것이 또 유럽의 지적인 신학을 아시아의 단적인 신비주의와 구별해 주는 점이기도 하다. 피타고라스가 어떤 점에서 틀렸는지를 분명하게 말할 수 있는 것은 다만 최근에 이르러서 가능하게 된 일이다. 사상의 영역에서 피타고라스만큼 영향을 크게 끼친 사람이 ..
수학은 초감각적 예지적 세계 내가 믿기에는 수학은 초감각적 예지적 세계에 대한 신앙의 주요 근원이 됨과 동시에, 영원하고도 정확한 정리에 대한 신앙의 근원도 된다. 기하학은 정확한 원을 다룬다. 그러나 어떠한 감각적 대상도 정확한 원은 아니다. 우리가 컴퍼스를 아무리 주의하여 사용할지라도 어느 정도의 불완전함과 불규칙성은 면할 수가 없다. 이것을 볼 때, 정확한 추리란 모두 감각적 대상과는 반대되는 관념적 대상에게만 적용되는 것이라는 견해를 가지게 만든다. 그리고 한 걸음 더 나아가서 사유가 감각보다 더 고상하고, 또 사유의 대상이 지각의 대상보다 더 실재적이라고 논의하는 것은 자연스러운 일이다. 시간과 영원의 관계에 관한 신비적 학설 대상은 그것이 실재할진대 영원할 것이며, 시간 속에 있지는 않기 때문에다. 이러한 영원한 대상들은..
기하학이 철학과 과학에 미친 영향 철학이나 과학의 방법에 끼친 기하학의 영향은 대단히 큰 바 있다. 기하학은 그리스사람들이 처음에 세운 바와 같이 자명한 것, 또는 자명한 것같이 보이는 공리로부터 시작해서, 연역적 추론에 의해 전진하여 자명한 것에서 대단히 먼 정리들에게로 이른다. 공리나 정리들은 경험에 주어지는 바 실제의 공간에 관하여 참임을 주장할 수가 있다. 그리하여 실제 세계에 관해서도 처음에는 자명한 것을, 그리고 다음에는 연역에 의해 여러 가지 사물들을 발견하는 일은 가능할 것이다. 이와 같은 견해는 플라톤과 칸트에게 영향을 주었고, 그 중간에 등장한 철학자들 대부분에게도 영향을 주었다. 미국 '독립선언문'에 나오는 "우리는 이 진리를 자명한 것으로 여긴다."라고 하는 문구도 유클리드를 모방하고 있는 것이다. 18세기의 자연권..
기하와 산술의 독립적 관계 앞의 논의는 다음과 같은 사실을 증명하여 준다. 즉, 우리가 어떠한 단위를 가지고도 그것으로 정확한 숫자적 관계를 맺을 수 없는 길이가 존재한다는 것, 즉 그 길이의 m곱이 단위의 n곱과 같아질 그런 정수 m,n이 존재하지 않는다는 것을 증명하고 있다. 이 때문에 그리스 수학자들은 기하는 산술에서 독립적으로 세워져야 한다고 생각하였다. 플라톤의 '대화편'에는 그의 시대에 기하를 독립적으로 다루는 일이 잘 진행되어 가고 있었다는 것을 보여 주는 글들이 있다.이 일은 유클리드에 있어서 완성되었다. 유클리드는 제 2권에서 (a+b)2=a2+2ab+b2과 같은 대수代數로 증명해야 할 많은 것을 기하학적으로 증명하고 있다. 그가 이와 같은 일이 필요하다고 생각하게 된 것은 약분 불가능의 수에 관한 난점 때문이었다..
분수로 표시할 수 없는 길이 발견 - 피타고라스 정리로부터 피타고라스의 정리에 의해서 즉시로 약분할 수 없는 수를 발견하게 된 것은 피타고라스에게는 불행한 일이었다. 이 발견 때문에 그의 철학 전체가 반증되고 마는 것처럼 보이기 때문이다. 이등변 직각삼각형의 사변 위에서 이루어진 정사각형은 직각을 끼는 변 위에서 이루어진 정사각형 면적의 2배이다. 이제 이 양변의 길이가 각각 1인치라고 하자. 그러면 사변의 길이는 얼마인가? 그 길이를 m/n인치라고 하면, m2/n2은 2일 것이다. 만일, m과 n의 공인수公因數를 가진다면, 그것을 약분하면 m이든지 또는 n중 하나는 홀수일 것이다. 그런데 m2=2n2이다. 그러므로 m2은 짝수, 따라서 m도 짝수, 그러므로 n은 홀수이다. 이제 m=2p라고 하자. 그러면 4p2=2n2이 될 것이다. 따라서 n2=2p2. 따라서..
피타고라스의 가장 위대한 업적 - 직각삼각형의 정리 피타고라스나 또는 그의 직접 제자가 이룬 가장 위대한 업적은 직각삼각형의 정리였다. 즉, 직각삼각형에 있어서 직각을 끼는 두 변 위에서 이루어지는 두 정사각형의 면적의 합은 나머지 변, 즉 사변斜邊 위에서 이루어지는 정사각형의 면적과 같다는 것이다. 이집트 사람들은 삼각형의 세 변이 3, 4, 5로 될 때는 그 삼각형은 직각삼각형이 된다는 것을 알았을 뿐이었다. 그러나 3·3 + 4·4 = 5·5이 된다는 것을 처음으로 알게 된 것은 그리스 사람들이었다. 그리고 이 사실 위에서 일반적 정리의 증명을 발견하게 된 것도 그리스 사람들이었을 것이다.
만물은 다 수數다 - 피타고라스 피타고라스는 누구나 다 잘 알고 있는 바와 같이, '만물은 다 수數'라고 하였다. 이 주장은 오늘날의 방식으로 해석될 때는 논리적으로 무의미하다. 그러나 그가 의미하고 있는 것은 전연 무의미한 것은 아니었다. 그는 음악에 있어서도 수의 중요성을 발견하고 있었다. 그러고 그가 확립하였던 음악과 산술 사이의 관련성은 수학의 용어로서 오늘날까지 남아 있다. '조화중항調和中項'이라든지, '조화급수調和級數'등이 그에게서 나온 용어들이다. 그는 수를 주사위나 트럼프에서 보는 바와 같은 형상으로서 생각하였다. 우리는 아직까지도 수의 제곱 또는 세제곱 등이라고 한다. 이런 용어는 모두 그에게서 온 것이다. 그는 또 장방수長方數·삼각수三角數·추형열수錐型列數 등에 관하여 말하고 있다. 이것들은 모두 각각 그 해당 형상을 ..
직관과 관찰의 세계에 대한 피타고라스 사유의 시작 어떤 학문이든 간에 그 시초에 있어서는 어떤 형태의 거짓 신념과 관련되고 있었다. 그리고 그 그릇된 신념은 공상적인 가치를 주었던 것이다. 천문학은 점성술과 관련되어 있었고, 화학은 연금술과 관련되었다. 수학도 이와 마찬가지의 오류와 관련되었는데, 더욱 세련된 종류의 오류였다. 수학의 지식은 확실하고 정확하며, 또 실재세계에 적용될 수 있는 것같이 보였다. 그뿐만 아니라, 이 지식은 단순한 사유만으로도 얻을 수 있으며, 관찰이 필요 없다. 이 지식은 일상의 경험적 지식이 줄 수 없던 한 이상을 주는 것으로 생각되었다. 수학의 기초 위에서 사유가 감각보다 우월하며, 직관이 관찰보다 우월한 것으로 생각되었다. 감각의 세계는 수학에 맞지 않았으므로, 그만큼 감각적 세계는 좋지 못한 것으로 간주되었다. 수학의 ..

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