반응형 유클리드2 기하와 산술의 독립적 관계 앞의 논의는 다음과 같은 사실을 증명하여 준다. 즉, 우리가 어떠한 단위를 가지고도 그것으로 정확한 숫자적 관계를 맺을 수 없는 길이가 존재한다는 것, 즉 그 길이의 m곱이 단위의 n곱과 같아질 그런 정수 m,n이 존재하지 않는다는 것을 증명하고 있다. 이 때문에 그리스 수학자들은 기하는 산술에서 독립적으로 세워져야 한다고 생각하였다. 플라톤의 '대화편'에는 그의 시대에 기하를 독립적으로 다루는 일이 잘 진행되어 가고 있었다는 것을 보여 주는 글들이 있다.이 일은 유클리드에 있어서 완성되었다. 유클리드는 제 2권에서 (a+b)2=a2+2ab+b2과 같은 대수代數로 증명해야 할 많은 것을 기하학적으로 증명하고 있다. 그가 이와 같은 일이 필요하다고 생각하게 된 것은 약분 불가능의 수에 관한 난점 때문이었다.. 2015. 8. 9. 분수로 표시할 수 없는 길이 발견 - 피타고라스 정리로부터 피타고라스의 정리에 의해서 즉시로 약분할 수 없는 수를 발견하게 된 것은 피타고라스에게는 불행한 일이었다. 이 발견 때문에 그의 철학 전체가 반증되고 마는 것처럼 보이기 때문이다. 이등변 직각삼각형의 사변 위에서 이루어진 정사각형은 직각을 끼는 변 위에서 이루어진 정사각형 면적의 2배이다. 이제 이 양변의 길이가 각각 1인치라고 하자. 그러면 사변의 길이는 얼마인가? 그 길이를 m/n인치라고 하면, m2/n2은 2일 것이다. 만일, m과 n의 공인수公因數를 가진다면, 그것을 약분하면 m이든지 또는 n중 하나는 홀수일 것이다. 그런데 m2=2n2이다. 그러므로 m2은 짝수, 따라서 m도 짝수, 그러므로 n은 홀수이다. 이제 m=2p라고 하자. 그러면 4p2=2n2이 될 것이다. 따라서 n2=2p2. 따라서.. 2015. 7. 31. 이전 1 다음 반응형