분수로 표시할 수 없는 길이 발견 - 피타고라스 정리로부터

피타고라스의 정리에 의해서 즉시로 약분할 수 없는 수를 발견하게 된 것은 피타고라스에게는 불행한 일이었다. 이 발견 때문에 그의 철학 전체가 반증되고 마는 것처럼 보이기 때문이다. 이등변 직각삼각형의 사변 위에서 이루어진 정사각형은 직각을 끼는 변 위에서 이루어진 정사각형 면적의 2배이다. 이제 이 양변의 길이가 각각 1인치라고 하자. 그러면 사변의 길이는 얼마인가? 그 길이를 m/n인치라고 하면, m2/n2은 2일 것이다. 만일, m과 n의 공인수公因數를 가진다면, 그것을 약분하면 m이든지 또는 n중 하나는 홀수일 것이다. 그런데 m2=2n2이다. 그러므로 m2은 짝수, 따라서 m도 짝수, 그러므로 n은 홀수이다. 이제 m=2p라고 하자. 그러면 4p2=2n2이 될 것이다. 따라서 n2=2p2. 따라서 n은 짝수일 것이다. 이것은 가설에 반한다. 그러므로 어떤 분수 m/n도 이 사변을 잴 수가 없을 것이다. 이 증명은 사실상 유클리드Euclid 제 10권에 있는 증명과 같은 것이다.